Question

【題目】已知橢圓的離心率為，上頂點為A，右頂點為B.點在橢圓C內，且直線與直線垂直.

（1）求C的方程；

（2）設過點P的直線交C于M，N兩點，求證：以為直徑的圓過點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)根據橢圓的基本量關系、直線垂直的斜率關系求解即可.

(2)先分析當直線的斜率為0時是否滿足，再分析當直線的斜率不為0時，設其方程為，聯立橢圓得出韋達定理，再計算可得即可證明.

（1）因為A為橢圓的上頂點，所以，

則直線的斜率.

因為與直線垂直，所以，解得.

設C的焦距為，因為C的離心率為，所以，.

則，所以.

所以C的方程為.

（2）由（1）知，.

當直線的斜率為0時，線段即為C的長軸，M或N與B重合，

則以為直徑的圓過點B.

當直線的斜率不為0時，設其方程為.

聯立，消去x得，

整理得，設，.

則，.

那么

，

所以.

所以，即以為直徑的圓過點B.