Question

【題目】超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.

某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為

現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為

（1）運用概率統計的知識，若，試求關于的函數關系式；

（2）若與抗生素計量相關，其中是不同的正實數，滿足，對任意的，都有

（i）證明：為等比數列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求的最大值.

參考數據：，，，，，

Answer 1

【答案】（1），（，且）；（2）（i）見解析，（ii）4

【解析】

（1）易知若取份血液樣本則；的所有可能取值為1，，根據概率公式可表示出.結合，化簡即可關于的函數關系式；

（2）（i）根據當時成立，則由數學歸納法即可證明為等比數列.（ii）根據（i）可得，，化簡可得，構造函數，求得導函數，可通過的符號判斷函數單調性，結合參考數據，即可求得的最大值.

（1）由已知得；的所有可能取值為1，，

，

.

.

若，

則，，

，

.

關于k的函數關系式為，（，且）.

（2）（i）證明：當時，，

，令，則，

，下面證明對任意的正整數n，.

①當，2時，顯然成立；

②假設對任意的時，，下面證明時，：

由題意，得，，

，，

，

.

或（負值舍去）.

成立.

由①②可知，為等比數列，.

（ii）由（i）知，，，

，得，

.

設，，

當時，，即在上單調減.

又，，

；，，

.

的最大值為4.