【題目】在四棱錐
中，四邊形
為菱形，且
，
，
分別為棱
，
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）若
平面，
，求平面與平面
所成二面角的正弦值．
【答案】（1）見證明（2）
【解析】
（1）設
的中點為
，連接
，
，先證明
，即證
平面
；（2）連接
，
，設
，連接
，連接
. 分別以
，
，為
軸，
軸，
軸的非負半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
.再利用向量方法求平面與平面
所成二面角的正弦值為.
（1）證明：設的中點為，連接，.
∵
，分別是
，的中點，
∴
，且
.
由已知得
，且
.
∴
，且
.
∴四邊形
是平行四邊形.
∴.
∵
平面，
平面，
∴平面.
（2）連接，，設，連接，連接.
設菱形
的邊長為
，由題設得
，
，
，
平面，分別以，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由題設得
，
，
，
，
，
∴
，
.
設
是平面的法向量，
則
，化簡得
，
令
，則
，
.∴
.
同理可求得平面的一個法向量
.
∴
.
∴平面與平面所成二面角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區間
，9:40～10:00記作
，10:00～10:20記作
，10:20～10:40記作
.比方：10點04分，記作時刻64.
（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記
為9:20～10:00之間通過的車輛數，求的分布列與數學期望；
（3）由大數據分析可知，車輛在春節期間每天通過該收費點的時刻
服從正態分布
，其中
可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，
可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.
參考數據：若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的左焦點為
，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且
．
(1)求橢圓C的標準方程：
(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線
的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某輪船公司年初以200萬元購進一艘輪船，以每年40萬元的價格出租給海運公司.輪船公司負責輪船的維護，第一年維護費為4萬元，隨著輪船的使用與磨損，以后每年的維護費比上一年多2萬元，同時該輪船第
年末可以以
萬元的價格出售.
（1）寫出輪船公司到第
年末所得總利潤
萬元關于的函數解析式，并求的最大值；
（2）為使輪船公司年平均利潤最大，輪船公司應在第幾年末出售輪船？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）若點M，N分別在AB，PC上，且
平面，試確定點M，N的位置．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面立角坐標系
中，過點
的圓的圓心
在
軸上，且與過原點傾斜角為
的直線
相切.
(1)求圓的標準方程；
(2)點
在直線
上，過點作圓的切線
、
，切點分別為
、
，求經過、、、四點的圓所過的定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給定數列
，若滿足
且
，對于任意的n，
，都有
，則稱數列為“指數型數列”．
Ⅰ
已知數列，
的通項公式分別為
，
，試判斷，是不是“指數型數列”；
Ⅱ若數列滿足：
，
，判斷數列
是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；
Ⅲ若數列是“指數型數列”，且
，證明：數列中任意三項都不能構成等差數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“工資條里顯紅利,個稅新政人民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2019年1月1日實施的個稅新政主要內容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點－專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養老人等.
新舊個稅政策下每月應納稅所得額(含稅)計算方法及其對應的稅率表如下：
舊個稅稅率表(個稅起征點3500元) | 新個稅稅率表(個稅起征點5000元) | |||
繳稅級數 | 每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點 | 稅率(%) | 每月應納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點-專項附加扣除 | 稅率(%) |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元部分 | 10 | 超過3000元至12000元部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超過9000元至35000元的部分 | 25 | 超過25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超過35000元至55000元部分 | 30 | 超過35000元至55000元部分 | 30 |
··· | ··· | ··· | ··· | ··· |
隨機抽取某市1000名同一收入層級的
從業者的相關資料,經統計分析,預估他們2019年的人均月收入24000元.統計資料還表明,他們均符合住房專項扣除；同時,他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養老人扣除、只符合贍養老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養老人扣除的人數之比是2:1:1:1；此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,贍養老人2000元/月等。
假設該市該收入層級的從業者都獨自享受專項附加扣除,將預估的該市該收入層級的從業者的人均月收入視為其個人月收入.根據樣本估計總體的思想,解決如下問題：
（1）設該市該收入層級的從業者2019年月繳個稅為
元,求的分布列和期望；
（2）根據新舊個稅方案,估計從2019年1月開始，經過多少個月,該市該收入層級的從業者各月少繳交的個稅之和就超過2019年的月收入？
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