Question

【題目】已知橢圓過圓的圓心，且右焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程;

（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

(1)根據焦點與橢圓上的點,列方程求解即可.

(2)根據三角形的面積公式化簡可得,再利用向量的方法可得,再分直線有無斜率的情況,聯立直線與橢圓的方程,利用韋達定理代入化簡向量的關系求得斜率即可.

解：（1）因為拋物線的焦點為,所以,

因為在橢圓上,所以,由,得,所以橢圓的方程為

（2）由得：,即,可得,

①當垂直軸時,,此時滿足題意,所以此時直線的方程為;

②當不垂直軸時,設,直線的方程為,

由消去得,

所以,

代入可得：,

代入,得,

代入化簡得：,

解得,

經檢驗滿足題意,則直線的方程為

綜上所述直線的方程為或