Question

（．(本題滿分12分)
已知二次函數和“偽二次函數” （、、），
（I）證明：只要，無論取何值，函數在定義域內不可能總為增函數；
（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫坐標為，記直線的斜率為，
（i）求證：；
（ii）對于“偽二次函數”，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.

Answer 1

解：（I）如果為增函數,
則(1)恒成立, 
當時恒成立, (2)由二次函數的性質, (2)不可能恒成立.
則函數不可能總為增函數.  --------3分
（II）（i） =.  
由, 則--------5分
（ii）不妨設,對于“偽二次函數”:

=,       (3)            --------7分
由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質，則 , (4)
比較(3)( 4)兩式得，
即：，(4)              --------10分
不妨令，    (5)
設，則，
∴在上遞增， ∴.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          
∴“偽二次函數”不具有(ⅰ)的性質. -------12分

略