Question

在等比數列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n．若數列{S_n+

1

2

}也是等比數列，則S_n等于

1

2

(3n-1)

．

Answer 1

分析：分類討論，利用等比數列的求和公式，確定數列的通項，利用數列{S_n+

1

2

}是等比數列，求出公比，即可求得結論．

解答：解：當公比為1時，S_n=n，數列{S_n+

1

2

}為數列{n+

1

2

}為公差為1的等差數列，不滿足題意；
當公比不為1時，S_n=

1-qn

1-q

，∴S_n+

1

2

=

1-qn

1-q

+

1

2

，S_n+1+

1

2

=

1-qn+1

1-q

+

1

2

∴

Sn+1+ 1 2

Sn+ 1 2

=

2qn+1+q-3

2qn+q-3

=

q(2qn+q-3)-q2+4q-3

2qn+q-3

=q+

-q2+4q-3

2qn+q-3

∵數列{S_n+

1

2

}是等比數列
∴-q²+4q-3=0
∵q≠1，∴q=3
∴S_n=

1-qn

1-q

=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)
故答案為：

1

2

(3n-1)

點評：本題考查等比數列的求和公式，考查等比數列的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．