Question

【題目】已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，斜率為2 的直線交拋物線于A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2）（x1＜x2）兩點，且|AB|=9，
（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線AB的方程是y=2 （x﹣ ），與y2=2px聯立，有4x2﹣5px+p2=0，

∴x1+x2=

由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9

∴p=4，∴拋物線方程是y2=8x

（2）解：由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，

∴x1=1，x2=4，

y1=﹣2 ，y2=4 ，從而A（1，﹣2 ），B（4，4 ）．

設 =（x3，y3）=（1，﹣2 ）+λ（4，4 ）=（4λ+1，4 λ﹣2 ）

又[2 （2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2

【解析】（1）直線AB的方程與y2=2px聯立，有4x2﹣5px+p2=0，從而x1+x2= ，再由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，則拋物線方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2 ），B（4，4 ）．再求得設 的坐標，最后代入拋物線方程即可解得λ．