Question

【題目】已知圓，直線．

（1）若直線與圓交于不同的兩點，當時，求實數的值；

（2）若是直線上的動點，過作圓的兩條切線、，切點為、，試探究：直是否過定點．若存在，請求出定點的坐標；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點

【解析】

（1）由已知結合垂徑定理求得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求得；

（2）解法1：設切點，，動點，求出兩條切線方程，計算出直線的方程，從而得到定點坐標；解法2：由題意可知，、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，求出公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得定點坐標.

（1），點到的距離，

即，解得.

（2）解法1：設切點，，動點，則圓在點處的切線方程為

，所以，即

同理，圓在點處的切線方程為

又點是兩條切線的交點，

，，

所以點，的坐標都適合方程，

上述方程表示一條直線，而過、兩點的直線是唯一的，

所以直線的方程為：.

設，

則直線的方程為，

即，

，解得，

故直線過定點.

解法2：由題意可知：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，

設，則此圓的方程為：，

即：，

又、在圓上，

兩圓方程相減得，

即，

，解得，

故直線過定點.