Question

【題目】銷售某種活蝦，根據以往的銷售情況，按日需量x（公斤）屬于[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500] 進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．這種活蝦經銷商進價成本為每公斤15元，當天進貨當天以每公斤20元進行銷售，當天未售出的須全部以每公斤10元賣給冷凍庫．某水產品經銷商某天購進了300公斤這種活蝦，設當天利潤為Y元．

（1）求Y關于x的函數關系式；

（2）結合直方圖估計利潤Y不小于300元的概率；

（3）在直方圖的日需量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，日需量落入該區間的頻率作為日需量取該區間中點值的概率，求Y的平均估計值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.74；（3）800

【解析】

（1）當日需求量不低于300公斤時，利潤元；當日需求量不足300公斤時，利潤（元）；（2）直接根據直方圖的性質可得結果；（3）的可能取值為，根據直方圖求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.

（1）當日需求量不低于300公斤時，利潤Y＝(20－15)×300＝1500元；

當日需求量不足300公斤時，利潤Y＝(20－15)x－(300－x)×5＝10x－1500（元）；

故Y＝．

（2）由Y≥300得，180≤x≤500，

所以P(Y≥300)＝P(180≤x≤200)＋P(200≤x≤500)

＝(0.0020×＋0.0030＋0.0025＋0.0015) ×100＝0.74．

（3）依題意可得Y的分布列為

Y	－1000	0	1000	1500
P	0.1	0.2	0.3	0.4

EY＝(－1000)×0.1＋0×0.2＋1000×0.3＋1500×0.4＝800．

因此Y的平均估計值為800元．