【題目】已知圓
,圓
,動圓
與圓
外切并且與圓
內切,圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
(2)過點
作圓的兩條切線，切點分別為
，求直線
被曲線截得的弦的中點坐標.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）已知動圓P與圓M外切，與圓N內切，利用圓心距和半徑的關系得到P到M和P到N的距離之和為定值，符合橢圓定義，從而求得曲線
的方程；
（2）先求直線AB，聯立直線與橢圓方程，再根據一元二次方程根與系數的關系，求得相交弦的中點坐標.
（1）由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑
;圓N的圓心為N(1,0),半徑
.
設動圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內切,所以
.
根據橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點的橢圓(左長軸端點除外),
即
，
橢圓方程為
.
（2）過點
作圓
的兩條切線，切點分別為
，如下圖：
，以為圓心，
為半徑的圓
與圓
公共弦所在直線AB
，
聯立曲線
與直線
可得
，
，
設交點
，則
，
所以中點的橫坐標為
，代入得中點的縱坐標為
，
所求中點坐標為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】銷售某種活蝦，根據以往的銷售情況，按日需量x（公斤）屬于[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500] 進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．這種活蝦經銷商進價成本為每公斤15元，當天進貨當天以每公斤20元進行銷售，當天未售出的須全部以每公斤10元賣給冷凍庫．某水產品經銷商某天購進了300公斤這種活蝦，設當天利潤為Y元．
（1）求Y關于x的函數關系式；
（2）結合直方圖估計利潤Y不小于300元的概率；
（3）在直方圖的日需量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，日需量落入該區間的頻率作為日需量取該區間中點值的概率，求Y的平均估計值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（1）求
的值域；
（2）求函數的最小正周期及函數的單調區間；
（3）將函數
的圖像向右平移
個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標變為原來的
倍，縱坐標保持不變，得到函數
的圖像，求函數
的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別為42，48，52.為了預測以后各月的患病人數，甲選擇了模型
，乙選擇了模型
，其中
為患病人數，
為月份數，a，b，c，p，q，r都是常數.結果4月，5月，6月份的患病人數分別為54，57，58.
（1）求a，b，c，p，q，r的值；
（2）你認為誰選擇的模型好.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列命題，其中所有正確命題的序號是__________．
①拋物線
的準線方程為
；
②過點
作與拋物線只有一個公共點的直線
僅有1條；
③
是拋物線上一動點，以為圓心作與拋物線準線相切的圓，則此圓一定過定點
.
④拋物線上到直線
距離最短的點的坐標為.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對數函數
（
且
）和指數函數
（且）互為反函數.已知函數
，其反函數為
．
（1）若函數
定義域為
，求實數
的取值范圍．
（2）若
為定義在上的奇函數，且
時，
．求的解析式．
（3）定義在
上的函數
，如果滿足：對任意的
，存在常數
，都有
成立，則稱函數是上的有界函數，其中
為函數的上界.若函數
，當
時，探究函數
在
上是否存在上界，若存在求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.
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