Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，若直線是曲線的切線，求的最大值；

（2）設，函數有兩個不同的零點，求的最大整數值.（參考數據）

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義可得，因此，利用導數研究其單調性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.

（2）根據題意，關于的方程有兩個不同的解，設利用導數得到存在使得.則要使得關于的方程有兩個不同的解，則，當時，設經驗證 有兩個不同的零點，即可證明.

解：（1）設直線與曲線相切于點，

，，.

又因為點在切線上，所以.所以

.因此

設，則

令得，；令得，.

在上單調遞增，在上單調遞減.

的最大值為.則的最大值為.

（2）函數有兩個不同的零點,

等價于方程有兩個不相等的實根.

設，則等價于方程有兩個不同的解，

即關于的方程有兩個不同的解，設,

則.設，由可知

在上單調遞減，又

存在使得，即，則.

當時，，，函數單調遞增；當時

，，函數單調遞減.所以函數的極大值為

.

要使得關于的方程有兩個不同的解，則.

當時，設，則

可知在上單調遞增，在上單調遞減，

又 p（1）＝0

所以有兩個不同的零點，符合題意，所以的最大整數值為.