Question

【題目】如圖，，是通過某城市開發區中心O的兩條南北和東西走向的街道，鏈接M，N兩地之間的鐵路是圓心在上的一段圓弧，若點M在O正北方向，且，點N到，距離分別為4km和5km．

建立適當的坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；

若該城市的某中學擬在O點正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于，求該校址距離點O的最近距離．注：校址視為一個點

Answer 1

【答案】(1) (2)距O最近6km的地方．

【解析】

建立坐標系，利用圓心在弦的垂直平分線上求圓心坐標，再求半徑，進而寫出圓的方程．

據條件列出不等式，運用函數單調性解決恒成立問題.

解：分別以、為x軸，y軸建立如圖坐標系．

據題意得，，，

MN中點為，

線段MN的垂直平分線方程為：，

故圓心A的坐標為，

半徑．

弧MN的方程為：

設校址選在，

對恒成立．

即，對恒成立

整理得：，對恒成立

令．

，，

在上為減函數．，

解得，

即校址選在距O最近6km的地方．