Question

【題目】在數列中，已知，，，設為的前項和．

（1）求證：數列是等差數列；

（2）求；

（3）是否存在正整數，，，使成等差數列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）（3），，的值為，，．

【解析】

試題分析：（1）證明數列為等差數列，一般方法為定義法，即利用相鄰兩項的差為常數進行論證：（2）先確定的通項公式：，再求，最后利用錯位相減法求和，注意相減時項的符號變化、項數的確定、最后結果得表示（3）存在性問題，一般以算代探：先根據成等差數列得，代入得，通過研究單調性，確定滿足條件解的范圍：當時，因此滿足條件的解，經驗證滿足條件

試題解析：（1）證明：因為，所以，…………………2分

又因為，所以，

所以是首項為1，公差為的等差數列． …………………………4分

（2）由（1）知，所以，………6分

所以，

所以，

兩式相減得

，

所以．…………………………………………………………………10分

（3）假設存在正整數，，，使成等差數列，

則，即．

由于當時，，所以數列單調遞減．

又，所以且至少為2，所以， ………………12分

．

①當時，，又，

所以，等式不成立．………………………………………14分

②當時，，

所以，所以，所以(單調遞減，解唯一確定)．

綜上可知，，，的值為，，． ………………………………16分