Question

【題目】已知函數 （a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）若1是函數y=f（x）+x的零點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）為奇函數，則f（﹣x）+f（x）=0，即 ，

即 ，

所以 ，

故有m2=4，所以m=±2，

當m=﹣2時， =﹣1＜0不成立，

當m=2時， ，經驗證成立，

所以m=2

（2）解：由（1）知 ，

∵1是函數y=f（x）+x的零點，

∴f（1）+1=0，

即 ，

即loga3=1，

解得a=3

【解析】（1）根據奇函數滿足f（-x）+f（x）=0列出方程解出m，并檢驗；（2）當x0是函數f（x）的零點時，f（x0）=0.
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質和函數的零點與方程根的關系是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．