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【題目】已知橢圓，點， 是橢圓上的動點.

（Ⅰ）若直線與橢圓相切，求點的坐標；

（Ⅱ）若在軸的右側，以為底邊的等腰的頂點在軸上，求四邊形面積的最小值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)聯立直線與橢圓的方程，利用判別式等于零可得，據此可得點的坐標為.

(Ⅱ)利用幾何關系可得是以為底邊的等腰三角形，結合題意可得面積函數： ，當且僅當等號成立.則四邊形面積的最小值為.

試題解析：

（Ⅰ）設直線的方程為，

聯立消去可得： ，

故，解得，

從而，解得， .所以，點的坐標為.

（Ⅱ）設線段的中點為.因是以為底邊的等腰三角形，故.

由題意，設，則點的坐標為，

且直線的斜率，故直線的斜率為，

從而直線的方程為： .又

令，得，化簡得.

所以，四邊形的面積

.等號成立.

所以，四邊形面積的最小值為.

練習冊系列答案
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【題目】某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按元/次收費, 并注冊成為會員, 對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下：

消費次第

第次

第次

第次

第次

次

收費比例






該公司從注冊的會員中, 隨機抽取了位進行統計, 得到統計數據如下:

消費次第

第次

第次

第次

第次

第次

頻數






假設汽車美容一次, 公司成本為元, 根據所給數據, 解答下列問題:

（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；

（2）某會員僅消費兩次, 求這兩次消費中, 公司獲得的平均利潤；

（3）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率, 設該公司為一位會員服務的平均利潤為元, 求的分布列和數學期望．

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【題目】如圖，在長方體中， 與平面及平面所成角分別為， ， 分別為與的中點，且.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

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女

男

總計

喜歡

40

20

60

不喜歡

20

30

50

總計

60

50

110

（K2≥k）

0.100

0.010

0.001

k

2.706

6.635

10.828

附表：K2= ．
A.有99%以上的把握認為“喜歡該電視劇與性別無關”
B.有99%以上的把握認為“喜歡該電視劇與性別有關”
C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”
D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

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【題目】設命題：實數滿足，其中；命題：實數滿足.

（1）若，且為真，求實數的取值范圍；

（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.

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【題目】已知a＞0，求證： ﹣ ≥a+ ﹣2．

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【題目】已知某中學高三文科班學生共有人參加了數學與地理的水平測試，現學校決定利用隨機數表法從中抽取人進行成績抽樣統計，先將人按進行編號．

（Ⅰ）如果從第行第列的數開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的個人的編號；（下面摘取了第行 至第行）

（Ⅱ）抽的人的數學與地理的水平測試成績如下表：

人數

數學

優秀

良好

及格

地

理

優秀

7

20

5

良好

9

18

6

及格

4

成績分為優秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績，例如：表中數學成績為良好的共有人，若在該樣本中，數學成績優秀率為，求的值．

（Ⅲ）將的表示成有序數對，求“在地理成績為及格的學生中，數學成績為優秀的人數比及格的人數少”的數對的概率．

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形， ， ， 為等邊三角形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角大小的余弦值.

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