Question

【題目】如圖，在長方體中， 與平面及平面所成角分別為， ， 分別為與的中點，且.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）根據中位線定理可得MN∥CD，由長方體的性質可得CD⊥平面，從而可得結果；（2）以AB，AD， 所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式及同角三角函數之間的關系，可得結果.

試題解析：（1）證明：在長方體中，

因為，所以為的中位線，

所以MN∥CD，

又因為CD⊥平面，

所以MN⊥平面．

（2）解：在長方體中，因為CD⊥平面，

所以為與平面所成的角，

即=，

又因為⊥平面，

所以為與平面所成的角，

即，

所以， ， ， =， ，

如圖2，分別以AB，AD， 所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

∴A(0，0，0)，D(0，2，0)， ， ，C(2，2，0)，B(2，0，0)，

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

∴是平面的法向量， .

設平面的法向量為，

由， ，

所以有

∴取z=1，

得平面的一個法向量為.

設二面角的大小為，

則.

∴．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.