Question

【題目】如圖，三棱柱中，，分別為棱和的中點.

(1)求證:平面;

(2)若平面平面，且，求證:平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：（1）先設的中點為，利用平幾知識證得四邊形為平行四邊形，所以 ，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據等腰三角形性質得，再根據面面垂直性質定理得面，最后根據面面垂直判定定理得結論.

詳解： 解：（1）如圖1，設的中點為，連結，.在中，因為為的中點，所以，且，在三棱柱中，因為，且,為的中點，所以,且，所以，且,所以四邊形為平行四邊形，所以

又平面，平面，所以平面.

(法二)

如圖2，在側面中，連結并延長交直線于點，連結.在三棱柱中， 所以,因為為的中點，所以為中點.又因為為中點，所以,又面，面 所以平面

(法三)如圖3，取的中點,連結、. 在中，因為、分別為、的中點，所以. 因為面，面 所以平面.在三棱柱中，且，又因為、分別為、的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以,又面，面，所以面

因為面，面，，面，面，所以面面,又面,所以平面

(2)因為， 為的中點，所以，因為面面，面面，面，所以面，又面，所以面面