Question

【題目】(導學號：05856333)

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，其右焦點為F(c,0)，第一象限的點A在橢圓C上，且AF⊥x軸．

(Ⅰ)若橢圓C過點(1，－ )，求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)已知直線l：y＝x－c與橢圓C交于M，N兩點，且B(4c，yB)為直線l上的點，證明：直線AM，AB，AN的斜率滿足kAB＝.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，結合a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；

（2）由離心率公式可得橢圓C的方程為3x2+4y2=12c2，將直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式化簡整理，即可得證．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，解得a＝2，b＝，c＝1，

故橢圓C的標準方程為＋＝1.

(Ⅱ)因為e＝，故a＝2c，b＝c，

∴橢圓C：3x2＋4y2＝12c2，

將直線l的方程為y＝x－c代入橢圓方程并整理，得7x2－8cx－8c2＝0，

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝，x1·x2＝－，可知B的坐標為(4c,3c)，

A的坐標為(c， c)，故kAM＋kAN＝＋＝，

將x1＋x2＝，x1·x2＝－代入可得，kAM＋kAN＝1，kAB＝＝，

∴kAB＝.