Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于和兩點.

（1）當時，求直線的方程；

（2）若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于、兩點，記與的面積分別為與，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，結合條件可求得的值，進而可求得直線的方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求得，利用三角形的面積公式可求得，同理可得出的表達式，然后利用基本不等式可求得的最小值.

（1）直線過的定點在橫軸上，且直線與拋物線相交，則斜率一定不能為，所以可設直線方程為.

聯立，消去得，

由韋達定理得，，

所以.

因為，所以，解得.

所以直線的方程為或；

（2）根據（1），設直線的方程為.

聯立，消去得，

由韋達定理得，，

則.

因為直線與直線垂直，

且當時，直線的方程為，則此時直線的方程為.但此時直線與拋物線沒有兩個交點，

所以不符合題意，所以.

所以直線的斜率為，可得，

，

當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.