Question

【題目】已知二次函數滿足①對于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調函數，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②詳見解析

【解析】

（1）根據條件可知二次函數對稱軸，的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4可求出交點，利用交點式求函數解析式（2）①寫出二次函數，根據對稱軸與區間關系可求出的取值范圍②分類討論求出函數的最小值，換元后作出函數圖象，再利用數形結合研究函數的零點，注意分類討論思想在解題中的應用.

（1）因為二次函數中，

所以對稱軸，

又的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4，

所以與軸交點為

設，

又，

所以

即.

（2）① ,

對稱軸為，

因為為單調函數，

所以或

解得或.

故的取值范圍是或.

②,

對稱軸為，

當，即時，，

當，即時，，

當，即時，

綜上

函數零點即為方程的根，

令，即的根，

作出的簡圖如圖所示：

（i）當時，，或，

解得或，有3個零點.

（ii）當時，有唯一解，解得，有2個零點.

（iii）當時，有兩個不同的解，

解得或，有4個零點.

（iv）當時，，，解得，有2個零點.

（v）當時，無解，無零點.

綜上：當時，無零點；

當時，4個零點；

當時，有3個零點；

當或時，有2個零點.