Question

【題目】如圖，平面平面，為矩形，為等腰梯形，，分別為，中點，，，．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）線段上是否存在點，使得平面，若存在求出的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在這樣的，理由詳見解析．

【解析】

（1）連接，利用三角形中位線性質可得，進而可證平面；

（2）建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量夾角公式及平方關系可得二面角的正弦值；

（3）假設存在點，根據表示出點的坐標，利用得出矛盾，進而得到結論.

（1）連接，∵，為，中點，

∴，

又∵平面，

平面，

∴平面．

（2）過點作，垂足為，

以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

，，，，

設平面的一個法向量為，

，，，

令，∴，，∴．

設平面的一個方向量為，

∴，，

二面角的正弦值為．

（3）假設存在這樣一點，設，由（2）知，，平面的法向量.

設，即，

∴，，，即，

，

∵平面，∴，

∴，

∴，且，即不存在這樣的，

∴線段上不存在點，使得平面．