Question

【題目】已知函數，為常數.

(1)討論函數的單調區間；

(2)若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）.

【解析】

（1）對求導，然后分和進行分類討論，根據的正負，得到的單調區間；（2）由（1）得到，且在處取最小值，從而得到，設，利用導數得到的最大值為，從而得到滿足要求的的值.

(1)由題意，

，

當時，，函數在區間上單調遞增，

當時，當上，單調遞減，

當上，單調遞增，

綜上所述，當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，單調遞減區間為，單調遞增區間為.

(2)由(1)可知

當時，函數在區間上單調遞增，

又，與題設矛盾，

當時，

在區間上函數單調遞減，區間上函數單調遞增，

所以函數即可，

設，，

，

所以當上，單調遞增，

當上，單調遞減，

所以時，取極大值，也是最大值，

所以，

所以滿足不等式的的值只有，

所以時，恒成立.