Question

【題目】已知拋物線P：的焦點為F，經過點作直線與拋物線P相交于A，B兩點，設，．

（1）求的值；

（2）是否存在常數a，當點M在拋物線P上運動時，直線都與以MF為直徑的圓相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，0.

【解析】

（1）設出直線方程，聯立直線與拋物線方程，由韋達定理即可得出結論；

（2）設點，求出以MF為直徑的圓的圓心與半徑，根據直線與圓相切得圓心到切線的距離等于半徑得對恒成立，從而求出a的值．

（1）法一：依題意過點的直線可設為，

由，得，

設，，則，

∴；

（2）存在．

∵F是拋物線P的焦點，∴．

設，則MF的中點為，．

∵直線與以MF為直徑的圓相切的充要條件是到直線的距離等于，即，

∴．

∵對于拋物線P上的任意一點M，直線都與以MF為直徑的圓相切，

∴關于x的方程對任意的都要成立．

∴解得．

∴存在常數a，并且僅有滿足“當點M在拋物線P上運動時，直線都與以MF為直徑的圓相切”．