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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數），以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程是：

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程.

（2）點是曲線上的動點，求點到直線距離的最大值與最小值.

【答案】（1）曲線的普通方程為，直線的直角坐標方程為

（2），

【解析】

（1）由曲線的參數方程消去參數，即可求出其普通方程；由極坐標與直角坐標的互化公式即可求出直線的直角坐標方程；

（2）由曲線C的參數方程，先設點，再由點到直線的距離公式即可求解.

解：（1）∵曲線的參數方程為（為參數），

∴曲線的普通方程為

∵直線的極坐標方程是：

∴

∴直線的直角坐標方程為

（2）∵點是曲線上的動點，

∴設，則到直線的距離：

，

∴當時，點到直線距離取最大值

當時，點到直線距離取最小值

練習冊系列答案
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【題目】中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”，其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，則該人第五天走的路程為（ ）

A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里

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【題目】如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的菱形，，與交于點，平面平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為等邊三角形，點為的中點，求二面角的余弦值.

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【題目】某書店為了了解銷售單價（單位：元）在]內的圖書銷售情況，從2018年上半年已經銷售的圖書中隨機抽取100本，獲得的所有樣本數據按照,，，，,分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價在內的圖書數是銷售單價在內的圖書數的2倍．

（1）求出與，再根據頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）用分層抽樣的方法從銷售單價在[8，20]內的圖書中共抽取40本，求單價在6組樣本數據中的圖書銷售的數量；

（3）從（2）中抽取且價格低于12元的書中任取2本，求這2本書價格都不低于10元的概率．

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【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求實數的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實數，滿足，證明：.

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【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式.某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統計結果整理如下：

20以下

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]

70以上

使用人數

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數,求隨機變量的分布列及數學期望；

（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋.

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數有兩個零點，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：當時，關于的不等式在上恒成立.

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【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點都在圓周上．已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面積為4dm2．

（1）求y關于x的函數解析式，并求其定義域；

（2）現為了節約紙張，需要所用圓形紙片面積最�。�x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值．

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【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中點，點M是⊙O上的動點（不與A，C重合）．

（1）證明：AD⊥PB；

（2）當三棱錐D﹣ACM體積最大時，求面MAD與面MCD所成二面角的正弦值.

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