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【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點都在圓周上．已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面積為4dm2．

（1）求y關于x的函數解析式，并求其定義域；

（2）現為了節約紙張，需要所用圓形紙片面積最�。�x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值．

【答案】（1）y關于x的函數解析式，定義域為(0，2)；

（2）當x取，所用到的圓形紙片面積最小，最小值為．

【解析】

（1）利用正十字形面積可構造關于的等式，整理可得函數關系式；利用且可解不等式求得定義域；（2）利用外接圓直徑可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值時的取值，代入圓的面積公式即可求得面積的最小值.

（1）由題意可得：，則：

且，即

關于的解析式為，定義域為

（2）設正十字形的外接圓的直徑為

當且僅當，即時取等號

即時，

正十字形外接圓面積：

即正十字形外接圓面積的最小值為：，此時

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某企業新研發了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數量（千件）有關，經統計得到如下數據：

根據以上數據，繪制了散點圖.

觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關關系，現考慮用反比例函數模型和指數函數模型分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數函數模型擬合的回歸方程為，與的相關系數.參考數據（其中）：

（1）用反比例函數模型求關于的回歸方程；

（2）用相關系數判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計產量為10千件時每件產品的非原料成本；

（3）該企業采取訂單生產模式（根據訂單數量進行生產，即產品全部售出）.根據市場調研數據，若該產品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為10元，根據（2）的結果，企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇100元還是90元，請說明理由.

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，，相關系數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數），以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程是：

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程.

（2）點是曲線上的動點，求點到直線距離的最大值與最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國國際智能產業博覽會（智博會）每年在重慶市舉辦一屆，每年參加服務的志愿者分“嘉賓”、“法醫”等若干小組，年底，來自重慶大學、西南大學、重慶醫科大學、西南政法大學的500名學生在重慶科技館多功能廳參加了“志愿者培訓”，如圖是四所大學參加培訓人數的不完整條形統計圖，現用分層抽樣的方法從中抽出20人作為2019年中國國際智博會服務的志愿者．

（1）分別求出從重慶大學、西南大學、重慶醫科大學、西南政法大學抽出的志愿者人數；

（2）若“嘉賓”小組的2名志愿者只能從重慶醫科大學或西南政法大學抽出，求這2人分別來自不同大學的概率（結果用分數表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，函數有兩個不同的極值點，．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線和動直線.直線交拋物線于兩點，拋物線在處的切線的交點為.

（1）當時，求以為直徑的圓的方程；

（2）求面積的最小值.

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【題目】2018 年1月16日，由新華網和中國財經領袖聯盟聯合主辦的2017中國財經年度人物評選結果揭曉，某知名網站財經頻道為了解公眾對這些年度人物是否了解，利用網絡平臺進行了調查，并從參與調查者中隨機選出人，把這人分為 兩類（類表示對這些年度人物比較了解，類表示對這些年度人物不太了解），并制成如下表格：

年齡段

歲～歲

歲～歲

歲～歲

歲～歲

人數

類所占比例

（1）若按照年齡段進行分層抽樣，從這人中選出人進行訪談，并從這人中隨機選出兩名幸運者給予獎勵.求其中一名幸運者的年齡在歲～歲之間，另一名幸運者的年齡在歲～歲之間的概率；(注：從人中隨機選出人,共有種不同選法)

（2）如果把年齡在 歲～歲之間的人稱為青少年，年齡在歲～歲之間的人稱為中老年，則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為青少年與中老年人在對財經年度人物的了解程度上有差異？

參考數據：

，其中

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【題目】隨著城市地鐵建設的持續推進，市民的出行也越來越便利．根據大數據統計，某條地鐵線路運行時，發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：4≤t≤15，N，平均每趟地鐵的載客人數p(t)（單位：人）與發車時間間隔t近似地滿足下列函數關系：，其中.

(1）若平均每趟地鐵的載客人數不超過1500人，試求發車時間間隔t的值．

(2）若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），問當發車時間間隔t為多少時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大？井求出最大凈收益．

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【題目】設數列的各項都是正數，若對于任意的正整數，存在，使得、、成等比數列，則稱函數為“型”數列.

（1）若是“型”數列，且，，求的值；

（2）若是“型”數列，且，，求的前項和；

（3）若既是“型”數列，又是“型”數列，求證：數列是等比數列.

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