Question

【題目】【2017屆江蘇如東高級中學等四校高三12月聯考】已知數列滿足，，且對任意，都有．

（1）求，；

（2）設（）．

①求數列的通項公式；

②設數列的前項和，是否存在正整數，，且，使得，，成等比數列？若存在，求出，的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）①②，

【解析】

試題分析：（Ⅰ）賦值法求項：由令，，則，解得．由令，，則，解得．（Ⅱ）①由于，所以利用賦值法構造遞推關系：令，得，即得 ，再根據等差數列定義得通項公式②因為，所以先根據裂項相消法求和：，再根據，，成等比數列，得，取倒數分離得，再由為大于1的正整數得，代入解得

試題解析：（1）由題意，令，，則，解得．

令，，則，解得．

（2）①以代替，得．

則，即．

所以數列是以為公差的等差數列．

，．

②因為．

所以．

則，，．

因為，，成等比數列，，即．

所以，．．

解得．

又，且，，則．

所以存在正整數，，使得，，成等比數列．