Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處，已知AB="20km,CB" ="10km" ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域中（含邊界），且與A,B等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP ，設排污管道的總長為km．
（Ⅰ）設∠BAO=(rad)，將表示成的函數關系式；
（Ⅱ）請用（Ⅰ）中的函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

Answer 1

（Ⅰ）由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故
，又OP＝，
所以，
所求函數關系式為
（Ⅱ）

令0 得sin ，因為，所以=，
當時， ，是的減函數；當時， ，是的增函數，所以當=時，。
這時點P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處。

解析