Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為.我們將其結論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用.已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點分別作該橢圓的兩條切線，且與交于點.當變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）聯立直線與橢圓方程，根據相切利用判別式即可求解；

（2）求出直線的方程，求出弦長和點到直線的距離，表示出的面積，再求最大值.

（1）將直線代入橢圓方程，

可得：，

由直線和橢圓相切：，，

解得：；

（2）橢圓方程，

設，

則兩點處的切線分別為：

，，兩條直線交于點，

則，，即兩點在直線上，

所以直線的方程為，

所以到直線的距離，

由得：，是方程的兩根，

，

，

所以的面積：

，

根據基本不等式，當且僅當時等號成立，

所以的面積，

當且僅當時面積取得最大值.