Question

【題目】已知函數(,為實數),.

(1)若函數的最小值是,求的解析式;

(2)在(1)的條件下,在區間上恒成立,試求的取值范圍;

(3)若,為偶函數,實數,滿足,,定義函數,試判斷值的正負,并說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)的值為正.見解析

【解析】

(1)由已知，且,解二者聯立的方程求出，的值，即可得到函數的解析式；

(2)將，在區間上恒成立，轉化成在區間上恒成立，問題變為求在區間上的最小值問題，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范圍；

(3)是偶函數，可得，求得，由，，可得異號，設，則，故可得，代入，化簡成關于，的代數式，由上述條件判斷其符號即可.

解:(1)由已知可得：,且，解得，，

∴函數的解析式是；

(2)在(1)的條件下，，即在區間上恒成立，

由于函數在區間上是減函數，且其最小值為1，

∴的取值范圍為；

(3)∵是偶函數,∴,∴,

由知異號,不妨設,則,又由得,

,

由得,又,得,

∴的值為正.