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【題目】已知函數．

（1）求證：函數在內單調遞增；

（2）記為函數的反函數．若關于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

【答案】（1）證明見解析；（2）[log2，log2]；（3）（log2，+∞）

【解析】

（1）用單調性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位；

（2）先求得反函數，構造函數，利用復合函數的單調性求得函數的值域；

（3）原不等式轉化為，，恒成立，解得即可．

解：（1）任取，則，

，，

，

，

即函數在內單調遞增

（2），

當時，，

的取值范圍是．

（3）對于，恒成立，

，

在定義域上單調遞增

，上恒成立

即在上恒成立

令，

在定義域上單調遞增，且在上也單調遞增，由復合函數的單調性可知在上單調遞增，

解得．

故的取值范圍為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

（1）證明：MN∥平面A′ACC′；

（2）若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角，求λ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且點M滿足.

（1）若點，求直線的方程；

（2）若直線l過點且不與x軸重合，過點M作垂直于l的直線與y軸交于點，求實數t的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列滿足：，，.

（1）求的值；

（2）設，求證：數列是等比數列，并求出其通項公式；

（3）對任意的，，在數列中是否存在連續的項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數列：若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】兩城市和相距，現計劃在兩城市外以為直徑的半圓上選擇一點建造垃圾處理場，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理場對城和城的總影響度為，統計調查表明：垃圾處理場對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為4，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為，當垃圾處理場建在的中點時，對城和城的總影響度為0.065；

（1）將表示成的函數；

（2）判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理場對城和城的總影響度最小?若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，，其中,是自然對數的底數.

（1）設，當時，求的最小值；

（2）證明：當，時，總存在兩條直線與曲線與都相切；

（3）當時，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）設是的反函數.當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數的值；

（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和為，且，（）.

（1）計算，，，，并求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，求證：數列是等比數列；

（3）由數列的項組成一個新數列：，，，，，設為數列的前項和，試求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數(,為實數),.

(1)若函數的最小值是,求的解析式;

(2)在(1)的條件下,在區間上恒成立,試求的取值范圍;

(3)若,為偶函數,實數,滿足,,定義函數,試判斷值的正負,并說明理由.

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