Question

【題目】已知數列滿足：，，.

（1）求的值；

（2）設，求證：數列是等比數列，并求出其通項公式；

（3）對任意的，，在數列中是否存在連續的項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數列：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析，（3）存在；在數列中，這連續的項就構成一個等差數列；證明見解析

【解析】

（1）2,4為偶數，代入，可得，同理3,5代入，可得；（2）根據等式，分別表示出和，，由于是偶數，故用到部分，那么整理化簡，可證得是等比數列，再令n=1可求出，進而得出通項公式；（3）先觀察數列的前7項，進而猜得這連續的項就構成一個等差數列，然后用數學歸納法證明。

（1）因為，所以，，

；

（2）由題意，對于任意的正整數，，所以

又所以.

又

所以是首項為2，公比為2的等比數列，

所以

（3）存在，事實上，對任意的，，在數列中，

這連續的項就構成一個等差數列

我們先用數學歸納法證明：

“對任意的，，，，有”

1）時，，，命題成立

2）假設時命題成立，則時，對任意，

（1）當為奇數時，

（用到歸納假設）

.

（2）當為偶數時，

（用到歸納假設）

由（1）（2）可知，命題對也成立；

綜合1）2）可得：“對任童的，，有”

對任意的，，

，其中，

所以

所以這連續的項，是首項為，公差為的等差數列.