Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過左焦點的最短弦長為3，離心率為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線與軸正半軸交于點，與橢圓交于點，軸，過的另一直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）首先根據題意列出方程組，再解方程組即可.

（2）首先根據題意得到的橫坐標，代入橢圓標準方程得到，根據和點的坐標求出直線的方程，從而得到點的坐標，分類討論直線斜率存在和不存在的情況，根據得到，的橫坐標關系，再根據根系關系即可求出直線的方程.

（1）由題知：，解得

所以橢圓的標準方程為.

（2）

由已知可得，，代入得，

所以.

，所以：.

令，的，所以.

①當直線的斜率不存在時，的方程為，

，不符合條件舍去.

②直線的斜率存在時，設直線的方程為.

代入橢圓方程得，

設，，則有①，②，

因為，所以，

由，

所以，所以，所以，

代入①②，解得，，

所以直線的方程為或.