Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，.

（1）證明：平面

（2）當直線與平面所成角的正切值為時，求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）在四邊形中，由平面幾何知識，易證，再由平面，得到，根據線面垂直的判定定理證明平面.

（2）根據（1）知平面，得到是直線與平面所成角，由直線與平面所成角的正切值為，得到，從而，然后以A為原點，分別以AB，AC，在平面中，過A垂直于AB的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，已知是平面的一個法向量，再求得平面的一個法向量，利用二面角的向量公式求解.

（1）∵四邊形為平行四邊形，

∴，，

∴在△中，由余弦定理得，

∴.

∴，即，

又∵平面，∴，

又∵

∴平面

（2）由（1）知，是直線與平面所成角，，

∴，

又∵平面，

∴

∴△是等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系：

則有：，

由已知是平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，，，

，

，

，

∴銳二面角的余弦值