Question

【題目】函數是的奇函數， 是常數．

（1）求的值；

（2）用定義法證明是的增函數；

（3）不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：根據函數為奇函數，則f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，利用定義法證明函數的單調性，證明步驟為：①取值②作差③變形斷號④給出結論；根據函數的單調性解不等式，解決恒成立的基本方法就是分離參數利用“極值原理”求出參數的取值范圍.

試題解析：

（1） 是上的奇函數

.

（2）設，且，則

又

即

是上的增函數

（3）由題意得： 對任意恒成立

又是上的增函數

即對任意恒成立

令即對恒成立

令 對稱軸為

當即時， 在為增函數， 成立

符合

當即時， 在為減， 為增

解得

綜上

【點精】利用函數的奇偶性，求函數的解析式 ，當函數為奇函數時，則f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，當函數為偶函數時，利用f(-x)=f(x)求出參數，利用定義法證明函數的單調性，證明步驟為：①取值②作差③變形斷號④給出結論；根據函數的單調性解不等式，解決恒成立的基本方法就是分離參數利用“極值原理”求出參數的取值范圍.