Question

【題目】已知橢圓的離心率，其左、右頂點分別為點，且點關于直線對稱的點在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在橢圓上，點在圓上，且都在第一象限，軸，若直線與軸的交點分別為，判斷是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）點關于直線對稱的點在直線上，代入可求出，又，可解出，然后得出橢圓方程；（2）設，，求出點的坐標，聯立直線與橢圓方程，由韋達定理求出坐標，從而得到的方程，求出點的坐標，設，求出化簡得，所以，為定值.

解：（1）點關于直線對稱的點在直線上，

∴，解得.

又，解得.

∴橢圓E的方程為：.

（2）設，，

令，解得，∴.

聯立，化簡得：.

∴，解得.

∴，即.

∴直線的斜率=.

∴的方程：，令，解得，∴.

設，則，.

∴.

∵，

∴，∴，即.

∴為定值.