已知數列{an}是正數組成的數列,其前n項和為Sn,對于一切n∈N*均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
(1)計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an;(2)用數學歸納法證明(1)中你的猜想.
【答案】
分析:(1)由題意

,令n=1,因為s
1=a
1,可求出a
1的值,再反復代入,分別求出a
2,a
3,總結出規律寫出通項公式a
n;
(2)根據(1)的猜想,利用歸納法進行證明,假設n=k成立,然后利用已知條件驗證n=k+1是否成立,從而求證.
解答:解:(1)由

得

可求得a
1=2,a
2=6,a
3=10,…(5分)
由此猜想{a
n}的通項公式a
n=4n-2(n∈N
+).…(7分)
(2)證明:①當n=1時,a
1=2,等式成立;…(9分)
②假設當n=k時,等式成立,即a
k=4k-2,…(11分)
∴

∴(a
k+1+a
k)(a
k+1-a
k-4)=0,又a
k+1+a
k≠0
∴a
k+1-a
k-4=0,
∴a
k+1=a
k+4=4k-2+4=4(k+1)-2
∴當n=k+1時,等式也成立.…(13分)
由①②可得a
n=4n-2(n∈N
+)成立.…(15分)
點評:點評:此題主要考查數列的遞推公式和利用數學歸納法進行證明,歸納法是高考中?嫉姆椒,幾乎每年都考,對此學生要引起注意,多加練習.