Question

【題目】如圖：已知正方形的邊長為，沿著對角線將折起，使到達的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若是的中點，點在線段上，且滿足直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明平面，得出為平面的平面角，由勾股定理證明，即可證明平面平面；

(2) 建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

解：（1）取的中點，連接

∵且為的中點，∴；同理，.

，平面

∴平面，則有為平面的平面角，

又∵在中，，則有

∴，

∴平面平面.

（2）由（1）可知，平面，則有，，又，則以為原點，所在直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系.

則有，，∴，

∵是的中點，∴M，又設，則，

則點的坐標為，∴.

設平面的一個法向量為，則有，

∴取，

∵直線與平面所成角的正弦值為，

，解得，

故