Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然對數的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.[0，e3﹣4]
B.[0， +2]
C.[ +2，e3﹣4]
D.[e3﹣4，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根據題意，若函數f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然對數的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點， 則方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在區間[ ，e]上有解，
﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在區間[ ，e]上有解，
設函數g（x）=x3﹣31nx，其導數g′（x）=3x2﹣ = ，
又由x∈[ ，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的極值點，
分析可得：當 ≤x≤1時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
當1≤x≤e時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，
故函數g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，
又由g（ ）= +3，g（e）=e3﹣3；比較可得：g（ ）＜g（e），
故函數g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，
故函數g（x）=x3﹣31nx在區間[ ，e]上的值域為[1，e3﹣3]；
若方程a+1=x3﹣31nx在區間[ ，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；
故選：A．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．