Question

【題目】已知橢圓： （）的左焦點為，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設為坐標原點， 為直線上一點，過作的垂線交橢圓于， ．當四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積。

Answer 1

【答案】(1) ；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知得： ， ，所以，再由可得，從而得橢圓的標準方程. ）橢圓方程化為.設PQ的方程為，代入橢圓方程得： .面積，而，所以只要求出的值即可得面積.因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以，即.

再結合韋達定理即可得的值.

試題解析：（1）由已知得： ， ，所以

又由，解得，所以橢圓的標準方程為： .

（2）橢圓方程化為.

設T點的坐標為，則直線TF的斜率.

當時，直線PQ的斜率，直線PQ的方程是

當時，直線PQ的方程是，也符合的形式.

將代入橢圓方程得： .

其判別式.

設，

則.

因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以，即.

所以，解得.

此時四邊形OPTQ的面積

.