Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的焦點在軸上，點為坐標原點，射線、分別與橢圓交于點、點，且，試判斷直線與圓：的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直線與圓：相離.證明見解析

【解析】

（1）對橢圓的焦點位置進行分類討論，并分別設出橢圓的標準方程，再根據離心率和橢圓過點，分別求出對應的標準方程；

（2）對點，分成在坐標軸上和不在坐標軸上兩種情況分別求解，再利用點到直線的距離公式，判斷直線與圓的位置關系即可.

（1）①當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓的方程為：，

由得，∴，

將點代入可得，，

∴橢圓的方程為：.

②當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓的方程為：，

由可得，∴，

將點代入可得，，

∴橢圓的方程為：.

（2）直線與圓：相離，

由（1）知，橢圓的方程為：，

當，在坐標軸上時，容易求得直線與圓：相離；

當，不在坐標軸上時，設直線：，則直線：，

聯立，可得，，∴，

聯立，可得，，∴，

根據面積關系可得圓心到直線的距離的平方，

∴直線與圓：相離.