Question

【題目】在平面直角坐標系中，設點 (1，0)，直線: ，點在直線上移動， 是線段與軸的交點, 異于點R的點Q滿足： ， .

（1）求動點的軌跡的方程；

（2） 記的軌跡的方程為，過點作兩條互相垂直的曲線

的弦. ，設. 的中點分別為．

問直線是否經過某個定點？如果是，求出該定點，

如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直線恒過定點 ．

【解析】試題分析: （1）由已知條件知，點R是線段FP的中點，RQ是線段FP的垂直平分線，點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，寫出拋物線標準方程．
（2）設出直線AB的方程，把A、B坐標代入拋物線方程，再利用中點公式求出點M的坐標，同理可得N的坐標，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點．

試題解析：(Ⅰ)依題意知，直線的方程為： ．點是線段的中點，

且⊥，∴是線段的垂直平分線．

∴是點到直線的距離．

∵點在線段的垂直平分線，∴．

故動點的軌跡是以為焦點， 為準線的拋物線，

其方程為： ．

(Ⅱ) 設， ，

由AB⊥CD，且AB、CD與拋物線均有兩個不同的交點，故直線AB、CD斜率均存在，設直線AB的方程為

則

（1）—（2）得，即，

代入方程，解得．所以點Ｍ的坐標為．

同理可得： 的坐標為．

直線的斜率為，方程為

，整理得，

顯然，不論為何值， 均滿足方程，所以直線恒過定點 ．