Question

【題目】△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC和AB的中點，現將△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分別是邊AD和BE的中點，平面BCH與AE、AF分別交于I、G兩點
（Ⅰ）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求直線AE與平面角GIC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明：DE∥BC，DE平面BCH，BC平面BCH，∴DE∥平面BCH，
∵平面ADE∩平面BCH=IH，
∴DE∥IH，
∴IH∥BC．
（II）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．
D（0，0，0），A（0，0，2），E（0，﹣2，0），C（2，0，0），
H（0，0，1），B（2，﹣4，0），
=（﹣2，0，1）， =（0，﹣4，0）， =（0，﹣2，﹣2）．
設平面BCH的法向量為 =（x，y，z），則 ，即 ，取 =（1，0，2）．
設直線AE與平面角GIC所成角為θ，則sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（Ⅰ）DE∥BC，可得DE∥平面BCH，可得DE∥IH，即可證明IH∥BC．（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面BCH的法向量為 =（x，y，z），則 ，設直線AE與平面角GIC所成角為θ，則sinθ=|cos |= ．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的性質和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．