Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數的單調性；

（2）若函數有兩個零點，，證明，并指出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為R上的增函數；（2）證明見解析，a的取值范圍是.

【解析】

（1）求出函數的導數，結合題意求出的值，從而求出函數的單調區間；

（2）通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而判斷函數零點的個數，利用單調性證明不等式后，即可確定滿足條件的a的取值范圍.

（1）由題，

則，得，

此時，由得.

則時，，為增函數；時，，為增函數，且，所以為R上的增函數

（2）①當時，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數.

由，，

所以只有一個零點，不符合題意

若，則時，，為增函數；時，，為減函數；時，，為增函數.

而，故最多只有一個零點，不符合題意

若時，則時，，為增函數；時，，為減函數；時，，為增函數，得，故最多只有一個零點，不符合題意

②當時，由得，

由得，為減函數，由得，為增函數，

則.

又時，，時，，

所以當時，始終有兩個零點，，

不妨令，，構造函數，

所以，

由于時，，又，則恒成立，

所以為的減函數，

則，

即，故有.

又，是的兩個零點，則，

所以.結合的單調性得，

所以，所求a的取值范圍是.