Question

【題目】如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；

（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當時，的方程為，故拋物線的焦點坐標為；

（Ⅱ）設，

由，

，

由在拋物線上，所以，

又，

，，

.

由即

，

所以，，，

所以，的最大值為，此時.

法2：設直線，.

將直線的方程代入橢圓得：，

所以點的縱坐標為.

將直線的方程代入拋物線得：，

所以，解得，因此，

由解得，

所以當時，取到最大值為.

【點晴】

本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，涉及到求函數的最值，考查學生的數學運算能力，是一道有一定難度的題.