Question

（本小題滿分12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足
an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=．
（1）求證：{}是等差數列；
（2）求an表達式；
（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求證：b22+b32+…+bn2<1．

Answer 1

【解】（1）∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2）
Sn≠0，∴－=2，又==2，∴{}是以2為首項，公差為2的等差數列．
（2）由（1）=2+（n－1）2=2n，∴Sn=
當n≥2時，an=Sn－Sn－1=－
n=1時，a1=S1=，∴an=
（3）由（2）知bn=2（1－n）an=
∴b22+b32+…+bn2=++…+<++…+
=（1－）+（－）+…+（－）=1－<1．

略