Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為左，右焦點，分別為左，右頂點，原點到直線的距離為.設點在第一象限，且軸，連接交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若三角形的面積等于四邊形的面積，求直線的方程；

（3）求過點的圓方程（結果用表示）.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3） .

【解析】試題分析：（1）由離心率為，得，，利用 兩點坐標可得的方程為，由圓心到時直線的距離公式求得，則.（2）設，，由 兩點的坐標可得直線 的方程，與橢圓的方程聯立可得 的坐標（ 的橫、縱坐標分別是 的高），代入三角形的面積公式結合面積相等的條件即得關于 的方程求出 ，最后再將代入PA方程即可得所求. （3）所求圓的圓心為 的垂直平分線的交點，利用 三點的坐標即可得的垂直平分線的方程，兩個方程聯立即可求得圓心的坐標，再代入圓的標準方程即可得所求.

試題解析：

（1）因為橢圓的，

所以，，

所以直線的方程為，

又到直線的距離為，所以，

所以，，

所以橢圓的方程為.

（2）設，，

直線的方程為，

由，整理得，

解得：，則點的坐標是，

因為三角形的面積等于四邊形的面積，所以三角形的面積等于三角形的面積，

，

，

則，解得.

所以直線的方程為.

（3）因為，，，

所以的垂直平分線，

的垂直平分線為，

所以過三點的圓的圓心為，

則過三點的圓方程為 ，

即所求圓方程為 .