【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，
， 
，
，
為
的中點．
（1）求異面直線
，
所成角的余弦值；
（2）點
在線段
上，且
，若直線
與平面
所成角的正弦值為
，求
的值．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
試題分析：（1）利用空間向量求線線角，先根據題意確定空間直角坐標系，設立各點坐標，表示直線方向向量，利用向量數量積求向量夾角余弦值，最后根據線線角與向量夾角關系得線線角余弦值（2）利用空間向量求線面角，先根據題意確定空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組求面的法向量，利用向量數量積求向量夾角余弦值，最后根據線面角與向量夾角互余關系列等量關系，解出
的值．
試題解析：（1）
因為
平面
，且
平面，
所以
，
，
又因為
，所以
兩兩互相垂直．
分別以
為
軸建立空間直角坐標系，
則由
，
可得
，
，
，
，
，
又因為
為
的中點，所以
．
所以
，
，…………2分
所以
，
所以異面直線
，
所成角的余弦值為．…………………………5分
（2）因為
，所以
，則
，
，
，
設平面
的法向量為
，
則
即
令
，解得
，
，
所以
是平面的一個法向量．……………………………7分
因為直線
與平面
所成角的正弦值為
，
所以
，
解得
，
所以
的值為．……………………………………………………………10分
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點
，
為動直線
與橢圓的兩個交點，問：在
軸上是否存在點
，使
為定值？若存在，試求出點的坐標和定值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，點
為坐標原點，若橢圓
與曲線
的交點分別為
（
下
上），且兩點滿足
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上異于其頂點的任一點
，作
的兩條切線，切點分別為
，且直線
在
軸、
軸上的截距分別為
，證明：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
為
上異于原點的任意一點，過點
的直線
交于另一點
，交
軸的正半軸于點
，且有
．當點橫坐標為
時，
為正三角形．
（1）求的方程；
（2）若直線
，且
和 有且只有一個公共點
．
①證明直線
過定點，并求出定點坐標；
②
的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知圓
及點
，
．
（1）若直線
平行于
，與圓
相交于
，
兩點，
，求直線
的方程；
（2）在圓
上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高科技企業生產產品
和產品
需要甲、乙兩種新型材料，生產一件產品
需要甲材料1.5
，乙材料1，用5個工時，生產一件產品需要甲材料0.5，乙材料0.3，用3個工時，生產一件產品的利潤為2100元，生產一件產品的利潤為900元．該企業現有甲材料150，乙材料90，則在不超過600個工時的條件下，生產產品
的利潤之和的最大值為____________元．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的圓臺中，
是下底面圓
的直徑，
是上底面圓
的直徑，
是圓臺的一條母線．
（1）已知
，
分別為
，
的中點，求證：
平面
；
（2）已知
，
，求二面角
的余弦值．
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