Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的疋方形，側面與底面垂直，過點作的垂線，垂足為，且滿足，點在棱上，

（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）當取何值時，二面角的正弦值為.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

在底面內過點作，交與，由已知可證底面，建立空間直角坐標系，求出坐標.

（1）由條件得出坐標，求出平面法向量，根據向量的線面角公式，即可求解；

（2）設，分別求出平面、平面的法向量，根據向量的面面角公式，結合已知，得到關于的方程，求解即可得出結論

解：因為側面底面，

，平面，

平面平面，

所以底面，

在底面內過點作，

交與，則，

又底面，

所以，，

以，，為軸建立空間直角坐標系，

，

（1）點，因為，

所以點，

，

，，

設平面的一個法向量為，

滿足，

取，法向量為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）設，

設平面的一個法向量為，

滿足，

取，法向量為，

設平面的一個法向量為，

滿足，

取，法向量，

由題意

整理得，，

，即.