Question

【題目】已知矩形中，，分別在上，且，沿將四邊形折成四邊形，使點在平面上的射影在直線上，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而當線線平行比較難找時，可以先證面面平行，再轉化為線面平行：本題有兩組相交直線互相平行，及，先得線面平行，平面及平面，再得面面平行，平面平面，最后得線面平行平面（2）利用空間直角坐標系求二面角余弦值，先根據題意建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得各面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系得結論

試題解析：（1）證明：∵，∴，又平面，

平面

∴平面

同理又，平面

且，∴平面平面

又平面，∴平面

（2）如圖，過作，過作平面，

分別以為軸建立空間直角坐標系.

，，∴

∴，∴.

設平面的法向量為

∴，令，解得.

∴平面平面，∴平面的法向量為

設二面角的大小為，顯然為鈍角，

又平面的一個法向量為，