Question

（本小題共14分）函數，，.
（1）①試用含有的式子表示；②求的單調區間；
（2）對于函數圖像上的不同兩點，，如果在函數圖像上存在點（其中在與之間），使得點處的切線∥，則稱存在“伴隨切線”，當時，又稱存在“中值伴隨切線”。試問：在函數的圖像上是否存在兩點、，使得存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1），增區間為，減區間為
（2）不存在

解：（1）① ∵ ∴ . （2分）
② ∵， ∴當時，
當時， 
∴增區間為，減區間為  
（2）不存在  （7分） （反證法）
若存在兩點，，不妨設，則
曲線在的切線斜率
又
∴由得    ① 
法一：令 

∴在上為增函數   
又 ∴與①矛盾
∴不存在           （16分）
法二：令，則①化為   ②
令     ∵
∴在為增函數  
又∴此與②矛盾，∴不存在